|
|
|
 |
Дополнительные вопросы к экзамену по курсу "Методы математической физики"
(4 семестр)
- Необходимый минимум:
- Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана.
- Теорема о вычетах.
- Классификация особых точек с примерами.
- Выделение однозначной ветви многозначной функции.
- Теорема о свертке.
- Преобразование Фурье. Условия применимости.
- Преобразование Лапласа. Условия применимости.
- Свойства преобразования Лапласа (перечислить не менее трех).
- Записать уравнение Бесселя и его общее решение.
- Свойства частных решений уравнения Бесселя (перечислить не менее трех).
- Классификация уравнений с частными производными. Привести примеры.
- Типы краевых условий.
- Записать дифференциальные уравнения: волновое, параболическое, Лапласа, Гельмгольца.
- Записать уравнения Максвелла.
- Сформулировать задачу Штурма-Лиувилля.
- Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
- Свойства одномерной дельта-функции (перечислить не менее пяти).
- Определение функции Грина и ее применение при решении неоднородных дифференциальных уравнений.
- Физический смысл функции Грина.
- Построение одномерной функции Грина по двум частным решениям.
- Перечислить методы построения многомерной функции Грина.
- В чем заключается основная задача вариационного исчисления.
- Уравнение Эйлера.
- Сформулировать изопериметрическую задачу.
- Условия максимума (минимума) функционала (условия Лежандра).
- Расширенный список вопросов:
Теория функций комплексного переменного, интегральные преобразования и спец. функции
- Записать ряд Тейлора, ряд Лорана. Пояснить условия применимости.
- Определение вычета.
- Вычет в полюсах первого и n-го порядка.
- Интеграл в смысле главного значения по Коши.
- Смысл леммы Жордана.
- Основные идеи метода перевала.
- Определение и свойства гамма-функции.
- Поведение цилиндрических функций при нулевом аргументе.
- Асимптотические формулы для цилиндрических функций.
- Записать уравнение Лежандра. Какие функции являются его частными решениями.
Уравнения математической физики
- Свойства частных решений линейного уравнения с частными производными второго порядка.
- В чем заключается метод Эйлера решения уравнений с постоянными коэффициентами.
- Записать формулу Даламбера (дать пояснения).
- Понятие корректности краевой задачи.
- Пояснить правило выбора интегральных преобразований в зависимости от типа краевой задачи.
- Основные идеи метода разделения переменных.
- Сопряженные и самосопряженные дифференциальные операторы.
- Спектральное представление дельта-функции.
- Представление многомерной дельта-функции через одномерные в различных системах координат.
- Разложение одномерной функции Грина по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.
- В чем заключается метод контурного интеграла построения функции Грина.
- Поле точечного источника в свободном пространстве в спектральном и временном представлениях.
Вариационное исчисление
- Понятия функционала, экстремали и функции сравнения.
- Примеры вариационных принципов.
- Понятия первой и второй вариаций функционала.
- Уравнение Остроградского.
- Сформулировать задачу Лагранжа на условный экстремум.
- Суть метода Ритца.
- Суть метода Галеркина.
- Понятие прямых методов математической физики.
|
|
|
|
